Issolvi {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5p-q=7$$

Żid q maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5p=q+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Issostitwixxi \frac{7+q}{5} għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Immultiplika -2 b'\frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Żid -\frac{2q}{5} ma' 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Żid \frac{14}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{13}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$q=3$$

Issostitwixxi 3 għal q f'p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Żid \frac{7}{5} ma' \frac{3}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$p=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=2,q=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u q.

$$p=2,q=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Biex tagħmel 5p u -2p ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Issimplifika.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Naqqas -10p+15q=25 minn -10p+2q=-14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Żid -10p ma' 10p. -10p u 10p jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2q-15q=-14-25$$

Żid 2q ma' -15q.

$$-13q=-14-25$$

Żid -14 ma' -25.

$$-13q=-39$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$q=3$$

Issostitwixxi 3 għal q f'-2p+3q=5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$-2p+3\times 3=5$$

Immultiplika 3 b'3.

$$-2p+9=5$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2p=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$p=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=2,q=3$$