Issolvi {r}{7x-9y/2-2x+4/2=-15}{5(x-1+y)=25}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 7 x - 9 y } { 2 } - \frac { 2 x + 4 } { 2 } = - 15 } \\ { 5 ( x - 1 + y ) = 25 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$7x-9y-\left(2x+4\right)=-30$$

Biex issib l-oppost ta' 2x+4, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$7x-9y-2x-4=-30$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y-4=-30$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$5x-9y=-30+4$$

Żid -30 u 4 biex tikseb -26.

$$5x-9y=-26$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x-1+y=\frac{25}{5}$$

Iddividi 25 b'5 biex tikseb5.

$$x-1+y=5$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$x+y=5+1$$

Żid 5 u 1 biex tikseb 6.

$$x+y=6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-9y=-26,x+y=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-9y=-26$$

Żid 9y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=9y-26$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(9y-26\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'9y-26.

$$x=\frac{9}{5}y-\frac{26}{5}$$

Issostitwixxi \frac{9y-26}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=6.

$$\frac{9}{5}y-\frac{26}{5}+y=6$$

Żid \frac{9y}{5} ma' y.

$$\frac{14}{5}y-\frac{26}{5}=6$$

Żid \frac{26}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{14}{5}y=\frac{56}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{14}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{9}{5}y-\frac{26}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{9}{5}\times 4-\frac{26}{5}$$

Immultiplika \frac{9}{5} b'4.

$$x=\frac{36-26}{5}$$

Żid -\frac{26}{5} ma' \frac{36}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$7x-9y-\left(2x+4\right)=-30$$

Biex issib l-oppost ta' 2x+4, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$7x-9y-2x-4=-30$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y-4=-30$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$5x-9y=-30+4$$

Żid -30 u 4 biex tikseb -26.

$$5x-9y=-26$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x-1+y=\frac{25}{5}$$

Iddividi 25 b'5 biex tikseb5.

$$x-1+y=5$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$x+y=5+1$$

Żid 5 u 1 biex tikseb 6.

$$x+y=6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-9y=-26,x+y=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{5-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-9\right)}&\frac{5}{5-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{9}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-26\right)+\frac{9}{14}\times 6\\-\frac{1}{14}\left(-26\right)+\frac{5}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$7x-9y-\left(2x+4\right)=-30$$

Biex issib l-oppost ta' 2x+4, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$7x-9y-2x-4=-30$$

Ikkombina 7x u -2x biex tikseb 5x.

$$5x-9y-4=-30$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$5x-9y=-30+4$$

Żid -30 u 4 biex tikseb -26.

$$5x-9y=-26$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x-1+y=\frac{25}{5}$$

Iddividi 25 b'5 biex tikseb5.

$$x-1+y=5$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$x+y=5+1$$

Żid 5 u 1 biex tikseb 6.

$$x+y=6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-9y=-26,x+y=6$$

Biex tagħmel 5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5x-9y=-26,5x+5y=5\times 6$$

Issimplifika.

$$5x-9y=-26,5x+5y=30$$

Naqqas 5x+5y=30 minn 5x-9y=-26 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-9y-5y=-26-30$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-9y-5y=-26-30$$

Żid -9y ma' -5y.

$$-14y=-26-30$$

Żid -26 ma' -30.

$$-14y=-56$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x+y=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+4=6$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=4$$