Issolvi {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x-2y+12y=13$$

Ikkombina -2y u 12y biex tikseb 10y.

$$3x+10y=13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'-2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Immultiplika -3 u 3 biex tikseb -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+10y=13$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-10y+13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-10y+13}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

Immultiplika -5 b'\frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Żid \frac{50y}{3} ma' -8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Żid \frac{65}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{26}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Żid \frac{13}{3} ma' -\frac{10}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x-2y+12y=13$$

Ikkombina -2y u 12y biex tikseb 10y.

$$3x+10y=13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'-2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Immultiplika -3 u 3 biex tikseb -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3x-2y+12y=13$$

Ikkombina -2y u 12y biex tikseb 10y.

$$3x+10y=13$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'6, l-inqas denominatur komuni ta' 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Immultiplika 2 u 2 biex tikseb 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'-2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Immultiplika -3 u 3 biex tikseb -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Ikkombina 4x u -9x biex tikseb -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Biex tagħmel 3x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Issimplifika.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

Naqqas -15x-24y=-39 minn -15x-50y=-65 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-50y+24y=-65+39$$

Żid -50y ma' 24y.

$$-26y=-65+39$$

Żid -65 ma' 39.

$$-26y=-26$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-26.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'-5x-8y=-13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x-8=-13$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$