Issolvi {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-4x=5$$

Żid 4x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=4x+5$$

Issostitwixxi 4x+5 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

Immultiplika -3 b'4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Żid -12x ma' 4x.

$$-8x-15=3$$

Żid 15 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{9}{4} għal x f'y=4x+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

Immultiplika 4 b'-\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Żid 5 ma' -9.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$y-4x=5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Biex tagħmel y u -3y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Issimplifika.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Naqqas -3y+4x=3 minn -3y+12x=-15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Żid -3y ma' 3y. -3y u 3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12x-4x=-15-3$$

Żid 12x ma' -4x.

$$8x=-15-3$$

Żid -15 ma' -3.

$$8x=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{9}{4} għal x f'-3y+4x=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

Immultiplika 4 b'-\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$