Issolvi {l}{y=21x+180}{y=27x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 21 x + 180 } \\ { y = 27 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=30$$

$$y=810$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 21x miż-żewġ naħat.

$$y-21x=180$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 27x miż-żewġ naħat.

$$y-27x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-21x=180,y-27x=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-21x=180$$

Żid 21x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=21x+180$$

Issostitwixxi 21x+180 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-27x=0.

$$21x+180-27x=0$$

Żid 21x ma' -27x.

$$-6x+180=0$$

Naqqas 180 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=30$$

Issostitwixxi 30 għal x f'y=21x+180. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=21\times 30+180$$

Immultiplika 21 b'30.

$$y=630+180$$

Żid 180 ma' 630.

$$y=810$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=810,x=30$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 21x miż-żewġ naħat.

$$y-21x=180$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 27x miż-żewġ naħat.

$$y-27x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-21x=180,y-27x=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-21\\1&-27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{-27-\left(-21\right)}&-\frac{-21}{-27-\left(-21\right)}\\-\frac{1}{-27-\left(-21\right)}&\frac{1}{-27-\left(-21\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}&-\frac{7}{2}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\times 180\\\frac{1}{6}\times 180\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}810\\30\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=810,x=30$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 21x miż-żewġ naħat.

$$y-21x=180$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 27x miż-żewġ naħat.

$$y-27x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-21x=180,y-27x=0$$

Naqqas y-27x=0 minn y-21x=180 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-21x+27x=180$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-21x+27x=180$$

Żid -21x ma' 27x.

$$6x=180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=30$$

Issostitwixxi 30 għal x f'y-27x=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-27\times 30=0$$

Immultiplika -27 b'30.

$$y-810=0$$

Żid 810 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=810$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=810,x=30$$