Issolvi {l}{y=2x}{x+y=84}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { x + y = 84 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=28$$

$$y=56$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y-2x=0$$

Żid 2x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=2x$$

Issostitwixxi 2x għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y+x=84.

$$2x+x=84$$

Żid 2x ma' x.

$$3x=84$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=28$$

Issostitwixxi 28 għal x f'y=2x. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=2\times 28$$

Immultiplika 2 b'28.

$$y=56$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=56,x=28$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\84\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 84\\\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\28\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=56,x=28$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$y-2x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y-2x=0,y+x=84$$

Naqqas y+x=84 minn y-2x=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y-2x-x=-84$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2x-x=-84$$

Żid -2x ma' -x.

$$-3x=-84$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=28$$

Issostitwixxi 28 għal x f'y+x=84. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y+28=84$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=56$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=56,x=28$$