Issolvi {l}{y=-x+2}{y=3x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+x=2$$

Naqqas x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-x+2$$

Issostitwixxi -x+2 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-3x=-4.

$$-x+2-3x=-4$$

Żid -x ma' -3x.

$$-4x+2=-4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2} għal x f'y=-x+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{3}{2}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid x maż-żewġ naħat.

$$y+x=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Naqqas y-3x=-4 minn y+x=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+x+3x=2+4$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x+3x=2+4$$

Żid x ma' 3x.

$$4x=2+4$$

Żid 2 ma' 4.

$$4x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2} għal x f'y-3x=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-3\times \frac{3}{2}=-4$$

Immultiplika -3 b'\frac{3}{2}.

$$y-\frac{9}{2}=-4$$

Żid \frac{9}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$