Issolvi {l}{y=-5x+6}{y=3x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$y+5x=6$$

Naqqas 5x miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-5x+6$$

Issostitwixxi -5x+6 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, y-3x=-2.

$$-5x+6-3x=-2$$

Żid -5x ma' -3x.

$$-8x+6=-2$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y=-5x+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-5+6$$

Żid 6 ma' -5.

$$y=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=1,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-5}&-\frac{5}{-3-5}\\-\frac{1}{-3-5}&\frac{1}{-3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6+\frac{5}{8}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=1,x=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 5x maż-żewġ naħat.

$$y+5x=6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$y-3x=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

Naqqas y-3x=-2 minn y+5x=6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$y-y+5x+3x=6+2$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5x+3x=6+2$$

Żid 5x ma' 3x.

$$8x=6+2$$

Żid 6 ma' 2.

$$8x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=1$$

Issostitwixxi 1 għal x f'y-3x=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y-3=-2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=1,x=1$$