Issolvi {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{4}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Issostitwixxi -\frac{2x}{3}-5 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Immultiplika 5 b'-\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Żid -\frac{10x}{3} ma' 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{14}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{30}{7} għal x f'y=-\frac{2}{3}x-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'-\frac{30}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Żid -5 ma' \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{4}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas il-frazzjoni \frac{4}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Żid \frac{2}{3}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Biex tagħmel y u 5y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Issimplifika.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Naqqas 5y+8x=-45 minn 5y+\frac{10}{3}x=-25 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Żid 5y ma' -5y. 5y u -5y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Żid \frac{10x}{3} ma' -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Żid -25 ma' 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{14}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{30}{7} għal x f'5y+8x=-45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Immultiplika 8 b'-\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Żid \frac{240}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$