Issolvi {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Frazzjoni \frac{-4}{5} tista' tinkiteb mill-ġdid bħala -\frac{4}{5} bl-estrazzjoni tas-sinjal negattiv.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Issostitwixxi -\frac{4x}{5}-9 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Immultiplika 3 b'-\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Żid -\frac{12x}{5} ma' 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Żid 27 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{28}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Issostitwixxi -\frac{45}{14} għal x f'y=-\frac{4}{5}x-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Immultiplika -\frac{4}{5} b'-\frac{45}{14} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Żid -9 ma' \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Frazzjoni \frac{-4}{5} tista' tinkiteb mill-ġdid bħala -\frac{4}{5} bl-estrazzjoni tas-sinjal negattiv.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Żid \frac{4}{5}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{8x}{3} maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3y+8x=-45$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Frazzjoni \frac{-4}{5} tista' tinkiteb mill-ġdid bħala -\frac{4}{5} bl-estrazzjoni tas-sinjal negattiv.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Żid \frac{4}{5}x maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid \frac{8x}{3} maż-żewġ naħat.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'3.

$$3y+8x=-45$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Biex tagħmel y u 3y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Issimplifika.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Naqqas 3y+8x=-45 minn 3y+\frac{12}{5}x=-27 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Żid 3y ma' -3y. 3y u -3y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Żid \frac{12x}{5} ma' -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Żid -27 ma' 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{28}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Issostitwixxi -\frac{45}{14} għal x f'3y+8x=-45. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Immultiplika 8 b'-\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Żid \frac{180}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$