Issolvi {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x_{1} ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Naqqas 2x_{1} miż-żewġ naħat.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x_{1} billi tiżola x_{1} fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Naqqas x_{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Issostitwixxi -x_{2}+97 għal x_{1} fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Immultiplika -2 b'-x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Żid 2x_{2} ma' x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Żid 194 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x_{2}=194$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Issostitwixxi \frac{194}{3} għal x_{2} f'x_{1}=-x_{2}+97. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{1} direttament.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Żid 97 ma' -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x_{1} ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Naqqas 2x_{1} miż-żewġ naħat.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x_{1} u x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Il-varjabbli x_{1} ma jistax ikun ugwali għal 0 billi d-diviżjoni b'żero mhux iddefinit. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Naqqas 2x_{1} miż-żewġ naħat.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Naqqas -2x_{1}+x_{2}=0 minn x_{1}+x_{2}=97 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Żid x_{2} ma' -x_{2}. x_{2} u -x_{2} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Żid x_{1} ma' 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Issostitwixxi \frac{97}{3} għal x_{1} f'-2x_{1}+x_{2}=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x_{2} direttament.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Immultiplika -2 b'\frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Żid \frac{194}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$