Issolvi {l}{x-y=8}{y-2x=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 8 } \\ { y - 2 x = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-11$$

$$y=-19$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=8,-2x+y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=8$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+8$$

Issostitwixxi y+8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=3.

$$-2\left(y+8\right)+y=3$$

Immultiplika -2 b'y+8.

$$-2y-16+y=3$$

Żid -2y ma' y.

$$-y-16=3$$

Żid 16 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=-19$$

Issostitwixxi -19 għal y f'x=y+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-19+8$$

Żid 8 ma' -19.

$$x=-11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-11,y=-19$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=8,-2x+y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8-3\\-2\times 8-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-19\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-11,y=-19$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=8,-2x+y=3$$

Biex tagħmel x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-2x-2\left(-1\right)y=-2\times 8,-2x+y=3$$

Issimplifika.

$$-2x+2y=-16,-2x+y=3$$

Naqqas -2x+y=3 minn -2x+2y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+2y-y=-16-3$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y-y=-16-3$$

Żid 2y ma' -y.

$$y=-16-3$$

Żid -16 ma' -3.

$$y=-19$$

Issostitwixxi -19 għal y f'-2x+y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-19=3$$

Żid 19 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-11,y=-19$$