Issolvi {l}{x-y=2}{2x=3(y-1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x = 3 ( y - 1 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-1.

$$2x=3y-3$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-y=2$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=y+2$$

Issostitwixxi y+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=-3.

$$2\left(y+2\right)-3y=-3$$

Immultiplika 2 b'y+2.

$$2y+4-3y=-3$$

Żid 2y ma' -3y.

$$-y+4=-3$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7+2$$

Żid 2 ma' 7.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-1.

$$2x=3y-3$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-\left(-3\right)\\2\times 2-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'y-1.

$$2x=3y-3$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat.

$$2x-3y=-3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=-3$$

Issimplifika.

$$2x-2y=4,2x-3y=-3$$

Naqqas 2x-3y=-3 minn 2x-2y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x-2y+3y=4+3$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y+3y=4+3$$

Żid -2y ma' 3y.

$$y=4+3$$

Żid 4 ma' 3.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'2x-3y=-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\times 7=-3$$

Immultiplika -3 b'7.

$$2x-21=-3$$

Żid 21 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=7$$