Issolvi {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Ikkombina 2x u -6x biex tikseb -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Ikkombina -y u -2y biex tikseb -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$-4x-3y=2+3$$

Żid 2 u 3 biex tikseb 5.

$$-4x-3y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$5x+y=4x-2$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-4x=-2$$

Ikkombina 5x u -4x biex tikseb x.

$$x+y=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-4x-3y=5$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4x=3y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y-5}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

Żid \frac{5}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'-3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

Żid -\frac{5}{4} ma' \frac{9}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Ikkombina 2x u -6x biex tikseb -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Ikkombina -y u -2y biex tikseb -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$-4x-3y=2+3$$

Żid 2 u 3 biex tikseb 5.

$$-4x-3y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$5x+y=4x-2$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-4x=-2$$

Ikkombina 5x u -4x biex tikseb x.

$$x+y=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

Biex issib l-oppost ta' y+3, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

Naqqas 6x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

Ikkombina 2x u -6x biex tikseb -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$-4x-y-3-2y=2$$

Ikkombina -y u -2y biex tikseb -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat.

$$-4x-3y=2+3$$

Żid 2 u 3 biex tikseb 5.

$$-4x-3y=5$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.

$$5x+y=4x-2$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$5x+y-4x=-2$$

Ikkombina 5x u -4x biex tikseb x.

$$x+y=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

Biex tagħmel -4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

Naqqas -4x-4y=8 minn -4x-3y=5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-3y+4y=5-8$$

Żid -3y ma' 4y.

$$y=5-8$$

Żid 5 ma' -8.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x+y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-3=-2$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-3$$