Issolvi {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{4}y miż-żewġ naħat.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{8}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Żid \frac{3y}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Issostitwixxi \frac{3y}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

Immultiplika -\frac{8}{9} b'\frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Żid -\frac{2y}{3} ma' y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'3.

$$y=-12$$

Issostitwixxi -12 għal y f'x=\frac{3}{4}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Immultiplika \frac{3}{4} b'-12.

$$x=-9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-9,y=-12$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{4}y miż-żewġ naħat.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{8}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-9,y=-12$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{4}y miż-żewġ naħat.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{8}{9}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Biex tagħmel x u -\frac{8x}{9} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-\frac{8}{9} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Issimplifika.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Naqqas -\frac{8}{9}x+y=-4 minn -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Żid -\frac{8x}{9} ma' \frac{8x}{9}. -\frac{8x}{9} u \frac{8x}{9} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Żid \frac{2y}{3} ma' -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-3.

$$y=-12$$

Issostitwixxi -12 għal y f'-\frac{8}{9}x+y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{8}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=-9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-9,y=-12$$