Issolvi {l}{x+y=3}{ax+5y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { a x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

$$y=-\frac{4-3a}{a-5}$$

$$a\neq 5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=3$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+3$$

Issostitwixxi -y+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, ax+5y=4.

$$a\left(-y+3\right)+5y=4$$

Immultiplika a b'-y+3.

$$\left(-a\right)y+3a+5y=4$$

Żid -ay ma' 5y.

$$\left(5-a\right)y+3a=4$$

Naqqas 3a miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(5-a\right)y=4-3a$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-a+5.

$$y=\frac{4-3a}{5-a}$$

Issostitwixxi \frac{4-3a}{-a+5} għal y f'x=-y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4-3a}{5-a}+3$$

Żid 3 ma' -\frac{4-3a}{-a+5}.

$$x=\frac{11}{5-a}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{11}{5-a},y=\frac{4-3a}{5-a}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}&-\frac{1}{5-a}\\-\frac{a}{5-a}&\frac{1}{5-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}\times 3+\left(-\frac{1}{5-a}\right)\times 4\\\left(-\frac{a}{5-a}\right)\times 3+\frac{1}{5-a}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5-a}\\-\frac{3a-4}{5-a}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{11}{5-a},y=-\frac{3a-4}{5-a}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

Biex tagħmel x u ax ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'a u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$ax+ay=a\times 3,ax+5y=4$$

Issimplifika.

$$ax+ay=3a,ax+5y=4$$

Naqqas ax+5y=4 minn ax+ay=3a billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$ax+\left(-a\right)x+ay-5y=3a-4$$

Żid ax ma' -ax. ax u -ax jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$ay-5y=3a-4$$

Żid ay ma' -5y.

$$\left(a-5\right)y=3a-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'a-5.

$$y=\frac{3a-4}{a-5}$$

Issostitwixxi \frac{3a-4}{a-5} għal y f'ax+5y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$ax+5\times \frac{3a-4}{a-5}=4$$

Immultiplika 5 b'\frac{3a-4}{a-5}.

$$ax+\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}=4$$

Naqqas \frac{5\left(3a-4\right)}{a-5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ax=-\frac{11a}{a-5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'a.

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{11}{a-5},y=\frac{3a-4}{a-5}$$