Issolvi {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 38y miż-żewġ naħat.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=220$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+220$$

Issostitwixxi -y+220 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

Żid -\frac{3y}{5} ma' -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

Naqqas 132 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{193}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{685}{193}$$

Issostitwixxi \frac{685}{193} għal y f'x=-y+220. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

Żid 220 ma' -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 38y miż-żewġ naħat.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 38y miż-żewġ naħat.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Biex tagħmel x u \frac{3x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{3}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Issimplifika.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Naqqas \frac{3}{5}x-38y=-5 minn \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Żid \frac{3x}{5} ma' -\frac{3x}{5}. \frac{3x}{5} u -\frac{3x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Żid \frac{3y}{5} ma' 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

Żid 132 ma' 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{193}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{685}{193}$$

Issostitwixxi \frac{685}{193} għal y f'\frac{3}{5}x-38y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

Immultiplika -38 b'\frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

Żid \frac{26030}{193} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{3}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=\frac{41775}{193}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$