Issolvi {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{8}y miż-żewġ naħat.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=220$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+220$$

Issostitwixxi -y+220 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'-y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Żid -\frac{2y}{5} ma' -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Naqqas 88 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{31}{40}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=120$$

Issostitwixxi 120 għal y f'x=-y+220. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-120+220$$

Żid 220 ma' -120.

$$x=100$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=100,y=120$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{8}y miż-żewġ naħat.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=100,y=120$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{3}{8}y miż-żewġ naħat.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Biex tagħmel x u \frac{2x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{2}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Issimplifika.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Naqqas \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 minn \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Żid \frac{2x}{5} ma' -\frac{2x}{5}. \frac{2x}{5} u -\frac{2x}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Żid \frac{2y}{5} ma' \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Żid 88 ma' 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{31}{40}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=120$$

Issostitwixxi 120 għal y f'\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Immultiplika -\frac{3}{8} b'120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Żid 45 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=100$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=100,y=120$$