Issolvi {l}{x+y=11}{2x-3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 11 } \\ { 2 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=11$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+11$$

Issostitwixxi -y+11 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-3y=-8.

$$2\left(-y+11\right)-3y=-8$$

Immultiplika 2 b'-y+11.

$$-2y+22-3y=-8$$

Żid -2y ma' -3y.

$$-5y+22=-8$$

Naqqas 22 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'x=-y+11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-6+11$$

Żid 11 ma' -6.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 11+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\times 11-\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2y=2\times 11,2x-3y=-8$$

Issimplifika.

$$2x+2y=22,2x-3y=-8$$

Naqqas 2x-3y=-8 minn 2x+2y=22 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+2y+3y=22+8$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+3y=22+8$$

Żid 2y ma' 3y.

$$5y=22+8$$

Żid 22 ma' 8.

$$5y=30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=6$$

Issostitwixxi 6 għal y f'2x-3y=-8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-3\times 6=-8$$

Immultiplika -3 b'6.

$$2x-18=-8$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=6$$