Issolvi {l}{x+y=0}{x+10y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 0 } \\ { x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

$$y = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9} \approx 1.111111111$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=0,x+10y=10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=0$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y$$

Issostitwixxi -y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+10y=10.

$$-y+10y=10$$

Żid -y ma' 10y.

$$9y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=\frac{10}{9}$$

Issostitwixxi \frac{10}{9} għal y f'x=-y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{10}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=0,x+10y=10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-1}&-\frac{1}{10-1}\\-\frac{1}{10-1}&\frac{1}{10-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 10\\\frac{1}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{9}\\\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=0,x+10y=10$$

Naqqas x+10y=10 minn x+y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+y-10y=-10$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-10y=-10$$

Żid y ma' -10y.

$$-9y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$y=\frac{10}{9}$$

Issostitwixxi \frac{10}{9} għal y f'x+10y=10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+10\times \frac{10}{9}=10$$

Immultiplika 10 b'\frac{10}{9}.

$$x+\frac{100}{9}=10$$

Naqqas \frac{100}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{10}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{10}{9},y=\frac{10}{9}$$