Issolvi {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+5y=5$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-5y+5$$

Issostitwixxi -5y+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Immultiplika 3 b'-5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

Żid -15y ma' -2y.

$$-17y+15=3$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-17y=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Issostitwixxi \frac{12}{17} għal y f'x=-5y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Immultiplika -5 b'\frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Biex tagħmel x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Issimplifika.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Naqqas 3x-2y=3 minn 3x+15y=15 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$15y+2y=15-3$$

Żid 15y ma' 2y.

$$17y=15-3$$

Żid 15 ma' -3.

$$17y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Issostitwixxi \frac{12}{17} għal y f'3x-2y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Immultiplika -2 b'\frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Żid \frac{24}{17} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{25}{17}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$