Issolvi {l}{x+4y=1}{2x+y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+4y=1$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-4y+1$$

Issostitwixxi -4y+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=-5.

$$2\left(-4y+1\right)+y=-5$$

Immultiplika 2 b'-4y+1.

$$-8y+2+y=-5$$

Żid -8y ma' y.

$$-7y+2=-5$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-4y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-4+1$$

Żid 1 ma' -4.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 2}&-\frac{4}{1-4\times 2}\\-\frac{2}{1-4\times 2}&\frac{1}{1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\left(-5\right)\\\frac{2}{7}-\frac{1}{7}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\times 4y=2,2x+y=-5$$

Issimplifika.

$$2x+8y=2,2x+y=-5$$

Naqqas 2x+y=-5 minn 2x+8y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+8y-y=2+5$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-y=2+5$$

Żid 8y ma' -y.

$$7y=2+5$$

Żid 2 ma' 5.

$$7y=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'2x+y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+1=-5$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=1$$