Issolvi {l}{x+200y=1800}{x+180y=1700}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 200 y = 1800 } \\ { x + 180 y = 1700 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=800$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+200y=1800,x+180y=1700$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+200y=1800$$

Naqqas 200y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-200y+1800$$

Issostitwixxi -200y+1800 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+180y=1700.

$$-200y+1800+180y=1700$$

Żid -200y ma' 180y.

$$-20y+1800=1700$$

Naqqas 1800 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-20y=-100$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-20.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-200y+1800. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-200\times 5+1800$$

Immultiplika -200 b'5.

$$x=-1000+1800$$

Żid 1800 ma' -1000.

$$x=800$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=800,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+200y=1800,x+180y=1700$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&200\\1&180\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{180}{180-200}&-\frac{200}{180-200}\\-\frac{1}{180-200}&\frac{1}{180-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9&10\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1700\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\times 1800+10\times 1700\\\frac{1}{20}\times 1800-\frac{1}{20}\times 1700\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=800,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+200y=1800,x+180y=1700$$

Naqqas x+180y=1700 minn x+200y=1800 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x-x+200y-180y=1800-1700$$

Żid x ma' -x. x u -x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$200y-180y=1800-1700$$

Żid 200y ma' -180y.

$$20y=1800-1700$$

Żid 1800 ma' -1700.

$$20y=100$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'20.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x+180y=1700. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+180\times 5=1700$$

Immultiplika 180 b'5.

$$x+900=1700$$

Naqqas 900 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=800$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=800,y=5$$