Issolvi {l}{x+2y=7}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=7$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y+7$$

Issostitwixxi -2y+7 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3y=3.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

Immultiplika 4 b'-2y+7.

$$-8y+28+3y=3$$

Żid -8y ma' 3y.

$$-5y+28=3$$

Naqqas 28 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-2y+7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times 5+7$$

Immultiplika -2 b'5.

$$x=-10+7$$

Żid 7 ma' -10.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Biex tagħmel x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

Issimplifika.

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

Naqqas 4x+3y=3 minn 4x+8y=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8y-3y=28-3$$

Żid 8y ma' -3y.

$$5y=28-3$$

Żid 28 ma' -3.

$$5y=25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'4x+3y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+3\times 5=3$$

Immultiplika 3 b'5.

$$4x+15=3$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-3,y=5$$