Issolvi {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$4y+3x=1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+2y=-2$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-2y-2$$

Issostitwixxi -2y-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

Immultiplika 3 b'-2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

Żid -6y ma' 4y.

$$-2y-6=1$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2y=7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{2} għal y f'x=-2y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

Immultiplika -2 b'-\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

Żid -2 ma' 7.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$4y+3x=1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3x maż-żewġ naħat.

$$4y+3x=1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Biex tagħmel x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

Issimplifika.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

Naqqas 3x+4y=1 minn 3x+6y=-6 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

Żid 3x ma' -3x. 3x u -3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-4y=-6-1$$

Żid 6y ma' -4y.

$$2y=-6-1$$

Żid -6 ma' -1.

$$2y=-7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{2} għal y f'3x+4y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

Immultiplika 4 b'-\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

Żid 14 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$