Issolvi {l}{p+c=40}{2.4p+3.2c=108}

$$\left\{ \begin{array} { l } { p + c = 40 } \\ { 2.4 p + 3.2 c = 108 } \end{array} \right.$$

Solvi għal p, c

$$p=25$$

$$c=15$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$p+c=40,2.4p+3.2c=108$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal p billi tiżola p fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$p+c=40$$

Naqqas c miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$p=-c+40$$

Issostitwixxi -c+40 għal p fl-ekwazzjoni l-oħra, 2.4p+3.2c=108.

$$2.4\left(-c+40\right)+3.2c=108$$

Immultiplika 2.4 b'-c+40.

$$-2.4c+96+3.2c=108$$

Żid -\frac{12c}{5} ma' \frac{16c}{5}.

$$0.8c+96=108$$

Naqqas 96 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$0.8c=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'0.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=15$$

Issostitwixxi 15 għal c f'p=-c+40. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$p=-15+40$$

Żid 40 ma' -15.

$$p=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=25,c=15$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$p+c=40,2.4p+3.2c=108$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.4&3.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.2}{3.2-2.4}&-\frac{1}{3.2-2.4}\\-\frac{2.4}{3.2-2.4}&\frac{1}{3.2-2.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1.25\\-3&1.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\108\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 40-1.25\times 108\\-3\times 40+1.25\times 108\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}p\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi p u c.

$$p=25,c=15$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$p+c=40,2.4p+3.2c=108$$

Biex tagħmel p u \frac{12p}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2.4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2.4p+2.4c=2.4\times 40,2.4p+3.2c=108$$

Issimplifika.

$$2.4p+2.4c=96,2.4p+3.2c=108$$

Naqqas 2.4p+3.2c=108 minn 2.4p+2.4c=96 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2.4p-2.4p+2.4c-3.2c=96-108$$

Żid \frac{12p}{5} ma' -\frac{12p}{5}. \frac{12p}{5} u -\frac{12p}{5} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2.4c-3.2c=96-108$$

Żid \frac{12c}{5} ma' -\frac{16c}{5}.

$$-0.8c=96-108$$

Żid 96 ma' -108.

$$-0.8c=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-0.8, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$c=15$$

Issostitwixxi 15 għal c f'2.4p+3.2c=108. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal p direttament.

$$2.4p+3.2\times 15=108$$

Immultiplika 3.2 b'15.

$$2.4p+48=108$$

Naqqas 48 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2.4p=60$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'2.4, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$p=25$$

Is-sistema issa solvuta.

$$p=25,c=15$$