Issolvi {l}{m+n=6}{2m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { m + n = 6 } \\ { 2 m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$m+n=6$$

Naqqas n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$m=-n+6$$

Issostitwixxi -n+6 għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 2m-2n=6.

$$2\left(-n+6\right)-2n=6$$

Immultiplika 2 b'-n+6.

$$-2n+12-2n=6$$

Żid -2n ma' -2n.

$$-4n+12=6$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-4n=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2} għal n f'm=-n+6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\frac{3}{2}+6$$

Żid 6 ma' -\frac{3}{2}.

$$m=\frac{9}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$m+n=6,2m-2n=6$$

Biex tagħmel m u 2m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2m+2n=2\times 6,2m-2n=6$$

Issimplifika.

$$2m+2n=12,2m-2n=6$$

Naqqas 2m-2n=6 minn 2m+2n=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2m-2m+2n+2n=12-6$$

Żid 2m ma' -2m. 2m u -2m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2n+2n=12-6$$

Żid 2n ma' 2n.

$$4n=12-6$$

Żid 12 ma' -6.

$$4n=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{3}{2} għal n f'2m-2n=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$2m-2\times \frac{3}{2}=6$$

Immultiplika -2 b'\frac{3}{2}.

$$2m-3=6$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=\frac{9}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{9}{2},n=\frac{3}{2}$$