Issolvi {l}{k(x-2)=y}{x+y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { k ( x - 2 ) = y } \\ { x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

$$k\neq -1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika k b'x-2.

$$kx-2k=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$kx-2k-y=0$$

Żid 2k maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$kx-y=2k$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x+y=4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$kx-y=2k$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$kx=y+2k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'k.

$$x=\frac{1}{k}\left(y+2k\right)$$

Immultiplika \frac{1}{k} b'y+2k.

$$x=\frac{1}{k}y+2$$

Issostitwixxi 2+\frac{y}{k} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=4.

$$\frac{1}{k}y+2+y=4$$

Żid \frac{y}{k} ma' y.

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y+2=4$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'1+\frac{1}{k}.

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Issostitwixxi \frac{2k}{1+k} għal y f'x=\frac{1}{k}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{k}\times \frac{2k}{k+1}+2$$

Immultiplika \frac{1}{k} b'\frac{2k}{1+k}.

$$x=\frac{2}{k+1}+2$$

Żid 2 ma' \frac{2}{1+k}.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika k b'x-2.

$$kx-2k=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$kx-2k-y=0$$

Żid 2k maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$kx-y=2k$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x+y=4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{k-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{k-\left(-1\right)}&\frac{k}{k-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}&\frac{1}{k+1}\\-\frac{1}{k+1}&\frac{k}{k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}\times 2k+\frac{1}{k+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{k+1}\right)\times 2k+\frac{k}{k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}\\\frac{2k}{k+1}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika k b'x-2.

$$kx-2k=y$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$kx-2k-y=0$$

Żid 2k maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$kx-y=2k$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 4 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$x+y=4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Biex tagħmel kx u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'k.

$$kx-y=2k,kx+ky=k\times 4$$

Issimplifika.

$$kx-y=2k,kx+ky=4k$$

Naqqas kx+ky=4k minn kx-y=2k billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$kx+\left(-k\right)x-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Żid kx ma' -kx. kx u -kx jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Żid -y ma' -ky.

$$\left(-k-1\right)y=2k-4k$$

Żid 2k ma' -4k.

$$\left(-k-1\right)y=-2k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1-k.

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Issostitwixxi \frac{2k}{1+k} għal y f'x+y=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{2k}{k+1}=4$$

Naqqas \frac{2k}{1+k} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$