Issolvi {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Żid by maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ax=by-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{a} b'by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Issostitwixxi \frac{by-8}{a} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Immultiplika b b'\frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Żid \frac{b^{2}y}{a} ma' ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Żid -\frac{8b}{a} ma' 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Naqqas \frac{a-8b}{a} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Issostitwixxi \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} għal y f'x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Immultiplika \frac{b}{a} b'\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Żid -\frac{8}{a} ma' \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Biex tagħmel ax u bx ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'b u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Issimplifika.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Naqqas abx+a^{2}y+a=0 minn abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Żid bax ma' -bax. bax u -bax jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Żid -b^{2}y ma' -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Naqqas 8b-a miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Issostitwixxi -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} għal y f'bx+ay+1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Immultiplika a b'-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Żid -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ma' 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Naqqas \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$