Issolvi {l}{a+2b=5}{4a+b=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 2 b = 5 } \\ { 4 a + b = 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=1$$

$$b=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$a+2b=5,4a+b=6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$a+2b=5$$

Naqqas 2b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=-2b+5$$

Issostitwixxi -2b+5 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 4a+b=6.

$$4\left(-2b+5\right)+b=6$$

Immultiplika 4 b'-2b+5.

$$-8b+20+b=6$$

Żid -8b ma' b.

$$-7b+20=6$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7b=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$b=2$$

Issostitwixxi 2 għal b f'a=-2b+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-2\times 2+5$$

Immultiplika -2 b'2.

$$a=-4+5$$

Żid 5 ma' -4.

$$a=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=1,b=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$a+2b=5,4a+b=6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 4}&-\frac{2}{1-2\times 4}\\-\frac{4}{1-2\times 4}&\frac{1}{1-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\times 5-\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=1,b=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$a+2b=5,4a+b=6$$

Biex tagħmel a u 4a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$4a+4\times 2b=4\times 5,4a+b=6$$

Issimplifika.

$$4a+8b=20,4a+b=6$$

Naqqas 4a+b=6 minn 4a+8b=20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4a-4a+8b-b=20-6$$

Żid 4a ma' -4a. 4a u -4a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8b-b=20-6$$

Żid 8b ma' -b.

$$7b=20-6$$

Żid 20 ma' -6.

$$7b=14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$b=2$$

Issostitwixxi 2 għal b f'4a+b=6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$4a+2=6$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4a=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$a=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=1,b=2$$