Issolvi {l}{S=-4/15t+12}{S=4/45t}

$$\left\{ \begin{array} { l } { S = - \frac { 4 } { 15 } t + 12 } \\ { S = \frac { 4 } { 45 } t } \end{array} \right.$$

Solvi għal S, t

$$t = \frac{135}{4} = 33\frac{3}{4} = 33.75$$

$$S=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{4}{15}t maż-żewġ naħat.

$$S+\frac{4}{15}t=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{45}t miż-żewġ naħat.

$$S-\frac{4}{45}t=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$S+\frac{4}{15}t=12,S-\frac{4}{45}t=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal S billi tiżola S fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$S+\frac{4}{15}t=12$$

Naqqas \frac{4t}{15} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$S=-\frac{4}{15}t+12$$

Issostitwixxi -\frac{4t}{15}+12 għal S fl-ekwazzjoni l-oħra, S-\frac{4}{45}t=0.

$$-\frac{4}{15}t+12-\frac{4}{45}t=0$$

Żid -\frac{4t}{15} ma' -\frac{4t}{45}.

$$-\frac{16}{45}t+12=0$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{16}{45}t=-12$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{16}{45}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$t=\frac{135}{4}$$

Issostitwixxi \frac{135}{4} għal t f'S=-\frac{4}{15}t+12. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal S direttament.

$$S=-\frac{4}{15}\times \frac{135}{4}+12$$

Immultiplika -\frac{4}{15} b'\frac{135}{4} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$S=-9+12$$

Żid 12 ma' -9.

$$S=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$S=3,t=\frac{135}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{4}{15}t maż-żewġ naħat.

$$S+\frac{4}{15}t=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{45}t miż-żewġ naħat.

$$S-\frac{4}{45}t=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$S+\frac{4}{15}t=12,S-\frac{4}{45}t=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{15}\\1&-\frac{4}{45}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{45}}{-\frac{4}{45}-\frac{4}{15}}&-\frac{\frac{4}{15}}{-\frac{4}{45}-\frac{4}{15}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{45}-\frac{4}{15}}&\frac{1}{-\frac{4}{45}-\frac{4}{15}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{45}{16}&-\frac{45}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 12\\\frac{45}{16}\times 12\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}S\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{135}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi S u t.

$$S=3,t=\frac{135}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid \frac{4}{15}t maż-żewġ naħat.

$$S+\frac{4}{15}t=12$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{4}{45}t miż-żewġ naħat.

$$S-\frac{4}{45}t=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$S+\frac{4}{15}t=12,S-\frac{4}{45}t=0$$

Naqqas S-\frac{4}{45}t=0 minn S+\frac{4}{15}t=12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$S-S+\frac{4}{15}t+\frac{4}{45}t=12$$

Żid S ma' -S. S u -S jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{4}{15}t+\frac{4}{45}t=12$$

Żid \frac{4t}{15} ma' \frac{4t}{45}.

$$\frac{16}{45}t=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{16}{45}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$t=\frac{135}{4}$$

Issostitwixxi \frac{135}{4} għal t f'S-\frac{4}{45}t=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal S direttament.

$$S-\frac{4}{45}\times \frac{135}{4}=0$$

Immultiplika -\frac{4}{45} b'\frac{135}{4} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$S-3=0$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$S=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$S=3,t=\frac{135}{4}$$