Issolvi {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$9m-13n=22$$

Żid 13n maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9m=13n+22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Immultiplika \frac{1}{9} b'13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Issostitwixxi \frac{13n+22}{9} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Immultiplika 2 b'\frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Żid \frac{26n}{9} ma' 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Naqqas \frac{44}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{53}{9}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=-1$$

Issostitwixxi -1 għal n f'm=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Immultiplika \frac{13}{9} b'-1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Żid \frac{22}{9} ma' -\frac{13}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=1,n=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=1,n=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Biex tagħmel 9m u 2m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Naqqas 18m+27n=-9 minn 18m-26n=44 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Żid 18m ma' -18m. 18m u -18m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-26n-27n=44+9$$

Żid -26n ma' -27n.

$$-53n=44+9$$

Żid 44 ma' 9.

$$-53n=53$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-53.

$$n=-1$$

Issostitwixxi -1 għal n f'2m+3n=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$2m-3=-1$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2m=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$m=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=1,n=-1$$