Issolvi {l}{8x+5y=19}{-8x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 5 y = 19 } \\ { - 8 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8x+5y=19$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=-5y+19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-5y+19\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-5y+19.

$$x=-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+19}{8} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x+y=-1.

$$-8\left(-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}\right)+y=-1$$

Immultiplika -8 b'\frac{-5y+19}{8}.

$$5y-19+y=-1$$

Żid 5y ma' y.

$$6y-19=-1$$

Żid 19 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{8}\times 3+\frac{19}{8}$$

Immultiplika -\frac{5}{8} b'3.

$$x=\frac{-15+19}{8}$$

Żid \frac{19}{8} ma' -\frac{15}{8} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&5\\-8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-5\left(-8\right)}&-\frac{5}{8-5\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8-5\left(-8\right)}&\frac{8}{8-5\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&-\frac{5}{48}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 19-\frac{5}{48}\left(-1\right)\\\frac{1}{6}\times 19+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8x+5y=19,-8x+y=-1$$

Biex tagħmel 8x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'8.

$$-8\times 8x-8\times 5y=-8\times 19,8\left(-8\right)x+8y=8\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-64x-40y=-152,-64x+8y=-8$$

Naqqas -64x+8y=-8 minn -64x-40y=-152 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-64x+64x-40y-8y=-152+8$$

Żid -64x ma' 64x. -64x u 64x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-40y-8y=-152+8$$

Żid -40y ma' -8y.

$$-48y=-152+8$$

Żid -152 ma' 8.

$$-48y=-144$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-48.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'-8x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x+3=-1$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$