Issolvi {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Solvi għal k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal k billi tiżola k fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$8k+a=3650$$

Naqqas a miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8k=-a+3650$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Immultiplika \frac{1}{8} b'-a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Issostitwixxi -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} għal k fl-ekwazzjoni l-oħra, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Immultiplika 15 b'-\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Żid -\frac{15a}{8} ma' a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Naqqas \frac{27375}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{7}{8}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$a=7650$$

Issostitwixxi 7650 għal a f'k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal k direttament.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Immultiplika -\frac{1}{8} b'7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Żid \frac{1825}{4} ma' -\frac{3825}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$k=-500$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=-500,a=7650$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi k u a.

$$k=-500,a=7650$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Naqqas 15k+a=150 minn 8k+a=3650 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Żid a ma' -a. a u -a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$8k-15k=3650-150$$

Żid 8k ma' -15k.

$$-7k=3650-150$$

Żid 3650 ma' -150.

$$-7k=3500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$k=-500$$

Issostitwixxi -500 għal k f'15k+a=150. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Immultiplika 15 b'-500.

$$-7500+a=150$$

Żid 7500 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$a=7650$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=-500,a=7650$$