Issolvi {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x-8y=9$$

Żid 8y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=8y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Issostitwixxi \frac{8y+9}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

Immultiplika 4 b'\frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

Żid \frac{32y}{7} ma' -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Naqqas \frac{36}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{59}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{106}{59}$$

Issostitwixxi \frac{106}{59} għal y f'x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Immultiplika \frac{8}{7} b'\frac{106}{59} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Żid \frac{9}{7} ma' \frac{848}{413} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{197}{59}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Biex tagħmel 7x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Issimplifika.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Naqqas 28x-91y=-70 minn 28x-32y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

Żid 28x ma' -28x. 28x u -28x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-32y+91y=36+70$$

Żid -32y ma' 91y.

$$59y=36+70$$

Żid 36 ma' 70.

$$59y=106$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'59.

$$y=\frac{106}{59}$$

Issostitwixxi \frac{106}{59} għal y f'4x-13y=-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

Immultiplika -13 b'\frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Żid \frac{1378}{59} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{197}{59}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$