Issolvi {l}{7x-6y=-30}{x-4y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = - 30 } \\ { x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x-6y=-30$$

Żid 6y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=6y-30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y-30\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-30+6y.

$$x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-30+6y}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x-4y=-20.

$$\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}-4y=-20$$

Żid \frac{6y}{7} ma' -4y.

$$-\frac{22}{7}y-\frac{30}{7}=-20$$

Żid \frac{30}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{22}{7}y=-\frac{110}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{22}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{6}{7}y-\frac{30}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{6}{7}\times 5-\frac{30}{7}$$

Immultiplika \frac{6}{7} b'5.

$$x=\frac{30-30}{7}$$

Żid -\frac{30}{7} ma' \frac{30}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-4\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{22}&-\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-30\right)-\frac{3}{11}\left(-20\right)\\\frac{1}{22}\left(-30\right)-\frac{7}{22}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x-6y=-30,x-4y=-20$$

Biex tagħmel 7x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$7x-6y=-30,7x+7\left(-4\right)y=7\left(-20\right)$$

Issimplifika.

$$7x-6y=-30,7x-28y=-140$$

Naqqas 7x-28y=-140 minn 7x-6y=-30 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7x-7x-6y+28y=-30+140$$

Żid 7x ma' -7x. 7x u -7x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y+28y=-30+140$$

Żid -6y ma' 28y.

$$22y=-30+140$$

Żid -30 ma' 140.

$$22y=110$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'22.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x-4y=-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-4\times 5=-20$$

Immultiplika -4 b'5.

$$x-20=-20$$

Żid 20 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=5$$