Issolvi {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=-9$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+3y=43$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-3y+43$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-3y+43.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+43}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

Immultiplika 4 b'\frac{-3y+43}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

Żid -\frac{12y}{7} ma' -3y.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Naqqas \frac{172}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{33}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-9$$

Issostitwixxi -9 għal y f'x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

Immultiplika -\frac{3}{7} b'-9.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Żid \frac{43}{7} ma' \frac{27}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-9$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=-9$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Biex tagħmel 7x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Issimplifika.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Naqqas 28x-21y=469 minn 28x+12y=172 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

Żid 28x ma' -28x. 28x u -28x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$12y+21y=172-469$$

Żid 12y ma' 21y.

$$33y=172-469$$

Żid 172 ma' -469.

$$33y=-297$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'33.

$$y=-9$$

Issostitwixxi -9 għal y f'4x-3y=67. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

Immultiplika -3 b'-9.

$$4x+27=67$$

Naqqas 27 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=-9$$