Issolvi {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Żid -6 u 5 biex tikseb -1.

$$2x-1=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-1-y=-1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$2x-y=-1+1$$

Żid -1 u 1 biex tikseb 0.

$$2x-y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7x+18y=43$$

Naqqas 18y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=-18y+43$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'-18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-18y+43}{7} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Immultiplika 2 b'\frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Żid -\frac{36y}{7} ma' -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Naqqas \frac{86}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{43}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Immultiplika -\frac{18}{7} b'2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Żid \frac{43}{7} ma' -\frac{36}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Żid -6 u 5 biex tikseb -1.

$$2x-1=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-1-y=-1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$2x-y=-1+1$$

Żid -1 u 1 biex tikseb 0.

$$2x-y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Żid -6 u 5 biex tikseb -1.

$$2x-1=y-1$$

Naqqas y miż-żewġ naħat.

$$2x-1-y=-1$$

Żid 1 maż-żewġ naħat.

$$2x-y=-1+1$$

Żid -1 u 1 biex tikseb 0.

$$2x-y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Biex tagħmel 7x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Issimplifika.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Naqqas 14x-7y=0 minn 14x+36y=86 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Żid 14x ma' -14x. 14x u -14x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+7y=86$$

Żid 36y ma' 7y.

$$43y=86$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'43.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'2x-y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-2=0$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=2$$