Issolvi {l}{7n+46=a}{11n+2=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

Solvi għal n, a

$$n=11$$

$$a=123$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$7n+46-a=0$$

Naqqas 46 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$7n-a=-46$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$11n+2-a=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$11n-a=-2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal n billi tiżola n fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$7n-a=-46$$

Żid a maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7n=a-46$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'a-46.

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

Issostitwixxi \frac{-46+a}{7} għal n fl-ekwazzjoni l-oħra, 11n-a=-2.

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

Immultiplika 11 b'\frac{-46+a}{7}.

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

Żid \frac{11a}{7} ma' -a.

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

Żid \frac{506}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{7}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$a=123$$

Issostitwixxi 123 għal a f'n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal n direttament.

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

Immultiplika \frac{1}{7} b'123.

$$n=\frac{123-46}{7}$$

Żid -\frac{46}{7} ma' \frac{123}{7} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$n=11$$

Is-sistema issa solvuta.

$$n=11,a=123$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$7n+46-a=0$$

Naqqas 46 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$7n-a=-46$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$11n+2-a=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$11n-a=-2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi n u a.

$$n=11,a=123$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$7n+46-a=0$$

Naqqas 46 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$7n-a=-46$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas a miż-żewġ naħat.

$$11n+2-a=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$11n-a=-2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Naqqas 11n-a=-2 minn 7n-a=-46 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

Żid -a ma' a. -a u a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$7n-11n=-46+2$$

Żid 7n ma' -11n.

$$-4n=-46+2$$

Żid -46 ma' 2.

$$-4n=-44$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$n=11$$

Issostitwixxi 11 għal n f'11n-a=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$11\times 11-a=-2$$

Immultiplika 11 b'11.

$$121-a=-2$$

Naqqas 121 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-a=-123$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$a=123$$

Is-sistema issa solvuta.

$$n=11,a=123$$