Issolvi {l}{6x-4y=30}{2x+6y=-34}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = 30 } \\ { 2 x + 6 y = - 34 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-4y=30$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=4y+30$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(4y+30\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'4y+30.

$$x=\frac{2}{3}y+5$$

Issostitwixxi \frac{2y}{3}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+6y=-34.

$$2\left(\frac{2}{3}y+5\right)+6y=-34$$

Immultiplika 2 b'\frac{2y}{3}+5.

$$\frac{4}{3}y+10+6y=-34$$

Żid \frac{4y}{3} ma' 6y.

$$\frac{22}{3}y+10=-34$$

Naqqas 10 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{22}{3}y=-44$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{22}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=\frac{2}{3}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6\right)+5$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-6.

$$x=-4+5$$

Żid 5 ma' -4.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 30+\frac{1}{11}\left(-34\right)\\-\frac{1}{22}\times 30+\frac{3}{22}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Biex tagħmel 6x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$2\times 6x+2\left(-4\right)y=2\times 30,6\times 2x+6\times 6y=6\left(-34\right)$$

Issimplifika.

$$12x-8y=60,12x+36y=-204$$

Naqqas 12x+36y=-204 minn 12x-8y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-8y-36y=60+204$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-8y-36y=60+204$$

Żid -8y ma' -36y.

$$-44y=60+204$$

Żid 60 ma' 204.

$$-44y=264$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-44.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'2x+6y=-34. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+6\left(-6\right)=-34$$

Immultiplika 6 b'-6.

$$2x-36=-34$$

Żid 36 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-6$$