Issolvi {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=3$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-2y=4$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=2y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

Immultiplika -5 b'\frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

Żid -\frac{5y}{3} ma' y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

Żid \frac{10}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{19}{2} għal y f'x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-\frac{19}{2} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

Żid \frac{2}{3} ma' -\frac{19}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=3$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 5x miż-żewġ naħat.

$$y-5x=3$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Biex tagħmel 6x u -5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

Issimplifika.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

Naqqas -30x+6y=18 minn -30x+10y=-20 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

Żid -30x ma' 30x. -30x u 30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y-6y=-20-18$$

Żid 10y ma' -6y.

$$4y=-20-18$$

Żid -20 ma' -18.

$$4y=-38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{19}{2} għal y f'-5x+y=3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

Żid \frac{19}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$