Issolvi {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x-18y=-85$$

Żid 18y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=18y-85$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Issostitwixxi 3y-\frac{85}{6} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Immultiplika 24 b'3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Żid 72y ma' -5y.

$$67y-340=-5$$

Żid 340 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$67y=335$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'67.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=3y-\frac{85}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Immultiplika 3 b'5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Żid -\frac{85}{6} ma' 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Biex tagħmel 6x u 24x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'24 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Naqqas 144x-30y=-30 minn 144x-432y=-2040 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Żid 144x ma' -144x. 144x u -144x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Żid -432y ma' 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Żid -2040 ma' 30.

$$-402y=-2010$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-402.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'24x-5y=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$24x-5\times 5=-5$$

Immultiplika -5 b'5.

$$24x-25=-5$$

Żid 25 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$24x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$