Issolvi {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+15y=360$$

Naqqas 15y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-15y+360$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{2}+60 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Immultiplika 8 b'-\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Żid -20y ma' 10y.

$$-10y+480=440$$

Naqqas 480 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-10y=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=-\frac{5}{2}y+60. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Immultiplika -\frac{5}{2} b'4.

$$x=-10+60$$

Żid 60 ma' -10.

$$x=50$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=50,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=50,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Biex tagħmel 6x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Issimplifika.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Naqqas 48x+60y=2640 minn 48x+120y=2880 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Żid 48x ma' -48x. 48x u -48x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$120y-60y=2880-2640$$

Żid 120y ma' -60y.

$$60y=2880-2640$$

Żid 2880 ma' -2640.

$$60y=240$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'60.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'8x+10y=440. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x+10\times 4=440$$

Immultiplika 10 b'4.

$$8x+40=440$$

Naqqas 40 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=50$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=50,y=4$$