Issolvi {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal u billi tiżola u fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6u+4v=5$$

Naqqas 4v miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6u=-4v+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Issostitwixxi -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} għal u fl-ekwazzjoni l-oħra, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Immultiplika 9 b'-\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Żid -6v ma' -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Naqqas \frac{15}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$v=\frac{1}{4}$$

Issostitwixxi \frac{1}{4} għal v f'u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{1}{4} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Żid \frac{5}{6} ma' -\frac{1}{6} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$u=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi u u v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Biex tagħmel 6u u 9u ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Issimplifika.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Naqqas 54u-48v=24 minn 54u+36v=45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Żid 54u ma' -54u. 54u u -54u jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36v+48v=45-24$$

Żid 36v ma' 48v.

$$84v=45-24$$

Żid 45 ma' -24.

$$84v=21$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'84.

$$v=\frac{1}{4}$$

Issostitwixxi \frac{1}{4} għal v f'9u-8v=4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal u direttament.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Immultiplika -8 b'\frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9u=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$u=\frac{2}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$