Issolvi {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=3$$

$$b=-12$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2a+b+6=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a+b=-6$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2a=-b-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-b-6.

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

Issostitwixxi -\frac{b}{2}-3 għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, -4a+b+24=0.

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

Immultiplika -4 b'-\frac{b}{2}-3.

$$2b+12+b+24=0$$

Żid 2b ma' b.

$$3b+12+24=0$$

Żid 12 ma' 24.

$$3b+36=0$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3b=-36$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$b=-12$$

Issostitwixxi -12 għal b f'a=-\frac{1}{2}b-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-12.

$$a=6-3$$

Żid -3 ma' 6.

$$a=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=-12$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=3,b=-12$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Naqqas -4a+b+24=0 minn 2a+b+6=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

Żid b ma' -b. b u -b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2a+4a+6-24=0$$

Żid 2a ma' 4a.

$$6a+6-24=0$$

Żid 6 ma' -24.

$$6a-18=0$$

Żid 18 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6a=18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$a=3$$

Issostitwixxi 3 għal a f'-4a+b+24=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$-4\times 3+b+24=0$$

Immultiplika -4 b'3.

$$-12+b+24=0$$

Żid -12 ma' 24.

$$b+12=0$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$b=-12$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=3,b=-12$$