Issolvi {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$50x+y=200$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$50x=-y+200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Immultiplika \frac{1}{50} b'-y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Issostitwixxi -\frac{y}{50}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Immultiplika 60 b'-\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Żid -\frac{6y}{5} ma' y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Naqqas 240 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=-100$$

Issostitwixxi -100 għal y f'x=-\frac{1}{50}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Immultiplika -\frac{1}{50} b'-100.

$$x=2+4$$

Żid 4 ma' 2.

$$x=6$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-100$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=6,y=-100$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Naqqas 60x+y=260 minn 50x+y=200 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Żid y ma' -y. y u -y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$50x-60x=200-260$$

Żid 50x ma' -60x.

$$-10x=200-260$$

Żid 200 ma' -260.

$$-10x=-60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-10.

$$x=6$$

Issostitwixxi 6 għal x f'60x+y=260. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$60\times 6+y=260$$

Immultiplika 60 b'6.

$$360+y=260$$

Naqqas 360 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=-100$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=6,y=-100$$