Issolvi {l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, z

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5y-4z=-1$$

Żid 4z maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=4z-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4z-1.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4z-1}{5} għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

Immultiplika -7 b'\frac{4z-1}{5}.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

Żid -\frac{28z}{5} ma' 7z.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

Naqqas \frac{7}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{7}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$z=\frac{38}{7}$$

Issostitwixxi \frac{38}{7} għal z f'y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'\frac{38}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

Żid -\frac{1}{5} ma' \frac{152}{35} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y=\frac{29}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u z.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Biex tagħmel 5y u -7y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

Issimplifika.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

Naqqas -35y+35z=45 minn -35y+28z=7 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

Żid -35y ma' 35y. -35y u 35y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$28z-35z=7-45$$

Żid 28z ma' -35z.

$$-7z=7-45$$

Żid 7 ma' -45.

$$-7z=-38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$z=\frac{38}{7}$$

Issostitwixxi \frac{38}{7} għal z f'-7y+7z=9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

Immultiplika 7 b'\frac{38}{7}.

$$-7y+38=9$$

Naqqas 38 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7y=-29$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$y=\frac{29}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$