Issolvi {l}{5x-y=9}{2x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 9 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=9$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+9.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi \frac{9+y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+4y=8.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)+4y=8$$

Immultiplika 2 b'\frac{9+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{18}{5}+4y=8$$

Żid \frac{2y}{5} ma' 4y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{18}{5}=8$$

Naqqas \frac{18}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{22}{5}y=\frac{22}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{22}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1+9}{5}$$

Żid \frac{9}{5} ma' \frac{1}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 9+\frac{1}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 9+\frac{5}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 9,5\times 2x+5\times 4y=5\times 8$$

Issimplifika.

$$10x-2y=18,10x+20y=40$$

Naqqas 10x+20y=40 minn 10x-2y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-2y-20y=18-40$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-2y-20y=18-40$$

Żid -2y ma' -20y.

$$-22y=18-40$$

Żid 18 ma' -40.

$$-22y=-22$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'2x+4y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+4=8$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=1$$