Issolvi {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{5}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-y=5$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Issostitwixxi \frac{y}{5}+1 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'\frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Żid -\frac{y}{25} ma' y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Żid \frac{1}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{24}{25}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{5}{24}$$

Issostitwixxi \frac{5}{24} għal y f'x=\frac{1}{5}y+1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'\frac{5}{24} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Żid 1 ma' \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{5}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas \frac{1}{5}x miż-żewġ naħat.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Biex tagħmel 5x u -\frac{x}{5} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-\frac{1}{5} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Issimplifika.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Naqqas -x+5y=0 minn -x+\frac{1}{5}y=-1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Żid \frac{y}{5} ma' -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{24}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{5}{24}$$

Issostitwixxi \frac{5}{24} għal y f'-\frac{1}{5}x+y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Naqqas \frac{5}{24} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$x=\frac{25}{24}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$