Issolvi {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 19y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y-19y=0$$

Ikkombina -4y u -19y biex tikseb -23y.

$$5x-23y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-23y=0$$

Żid 23y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=23y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Issostitwixxi \frac{23y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Immultiplika 5 b'\frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Żid 23y ma' 2y.

$$25y=71$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Issostitwixxi \frac{71}{25} għal y f'x=\frac{23}{5}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Immultiplika \frac{23}{5} b'\frac{71}{25} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 19y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y-19y=0$$

Ikkombina -4y u -19y biex tikseb -23y.

$$5x-23y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 19y miż-żewġ naħat.

$$5x-4y-19y=0$$

Ikkombina -4y u -19y biex tikseb -23y.

$$5x-23y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Naqqas 5x+2y=71 minn 5x-23y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-23y-2y=-71$$

Żid -23y ma' -2y.

$$-25y=-71$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-25.

$$y=\frac{71}{25}$$

Issostitwixxi \frac{71}{25} għal y f'5x+2y=71. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Immultiplika 2 b'\frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Naqqas \frac{142}{25} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$